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Matematica
dei frattali
I frattali nella natura
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Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è
costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l'intero
codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale
come quella dell'ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa.
Archimede ne scrisse un trattato, "Sulle Spirali". anche nella natura inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.
Le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica. La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale.
Il modo migliore per rappresentarla è con le coordinate polari r e f che costituiscono una valida alternativa alle coordinate cartesiane. r corrisponde alla distanza del punto P dall'origine (in modulo) e f all'angolo tra OP e l'asse delle x. Da notare che r è sempre maggiore o uguale a 0 e l'angolo cresce in senso antiorario da 0 e una rotazione completa aumenta l'angolo di 2p radianti.
La spirale di Archimede è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula r = af. Tutte le spirali di Archimede sono simili, differiscono solo per scala.
Archimede ne scrisse un trattato, "Sulle Spirali". anche nella natura inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.
Le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica. La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale.
Il modo migliore per rappresentarla è con le coordinate polari r e f che costituiscono una valida alternativa alle coordinate cartesiane. r corrisponde alla distanza del punto P dall'origine (in modulo) e f all'angolo tra OP e l'asse delle x. Da notare che r è sempre maggiore o uguale a 0 e l'angolo cresce in senso antiorario da 0 e una rotazione completa aumenta l'angolo di 2p radianti.
La spirale di Archimede è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula r = af. Tutte le spirali di Archimede sono simili, differiscono solo per scala.
La spirale logaritmica sostituisce la r della spirale di Archimede con il
log r, log r = af. Se a è maggiore di 0 la
spirale cresce all'infinito, se è minore di 0 procede verso il centro, se
a=0 si ha una circonferenza. Il fattore di crescita dipende da
f. Si può interpretare come gli spostamenti di
una barca attorno ad un faro. Dopo un tratto in linea retta con angolo
iniziale b rispetto alla linea che la congiunge
con il faro, la nave avrà un angolo di b + a e
dovrà aggiustare la rotta. Considerando spostamenti infinitesimi, riducendo
a, si arriva ad una spirale indistinguibile da
una spirale matematica.
Nel 1957 A. E. Bosman con La geometria nel pianeta: un campo miracoloso
di ricerca voleva mostrare le miracolose figure geometriche della
natura, prima fra tutte la spirale. Una delle sue figure più importanti è
l'albero di Pitagora la cui costruzione è basata sul sistema binario.
Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che
a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così
via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di
Pitagora, è uguale all'area del quadrato iniziale e così anche le aree dei
quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l'area
del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente
costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato.
La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica.
Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati.
L'albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico. Vi sono
anche frattali a forma di stella, costruiti per esempio con una linea
chiusa e successivi segmenti che si incrociano tutti con lo stesso angolo.
Si può comparare la curva di von Koch con una costa della Bretagna, ma la natura è creata con casualità. Se si considera la somiglianza statisticamente si creano frattali più realistici. Per far ciò occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. I metodi basati sul caso sono detti metodi di Monte Carlo, e in modo più formale stocastici dal verbo greco che sta per indovinare.
Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali. Per esempio si sceglie un numero di 4 cifre e si eleva al quadrato, poi si tolgono la prima e l'ultima cifra finché non rimangono ancora 4 numeri, si procede ancora con il quadrato e con il taglio delle cifre e così via: il risultato è una serie di numeri casuali tra 0 e 9999 che non fallisce test statistici di casualità e nello stesso tempo e stata creata con una regola precisa.
Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica.
Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi. Introducendo una certa casualità nella costruzione si potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. Questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende questi ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne.
Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura.
Si può comparare la curva di von Koch con una costa della Bretagna, ma la natura è creata con casualità. Se si considera la somiglianza statisticamente si creano frattali più realistici. Per far ciò occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. I metodi basati sul caso sono detti metodi di Monte Carlo, e in modo più formale stocastici dal verbo greco che sta per indovinare.
Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali. Per esempio si sceglie un numero di 4 cifre e si eleva al quadrato, poi si tolgono la prima e l'ultima cifra finché non rimangono ancora 4 numeri, si procede ancora con il quadrato e con il taglio delle cifre e così via: il risultato è una serie di numeri casuali tra 0 e 9999 che non fallisce test statistici di casualità e nello stesso tempo e stata creata con una regola precisa.
Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica.
Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi. Introducendo una certa casualità nella costruzione si potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. Questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende questi ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne.
Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura.
Attraverso una semplice operazione, la biforcazione di un segmento, si
possono ottenere delle "fronde" molto realistiche.
E' interessante notare, parlando in termini informatici, che se si potesse
riuscire ad aumentare il livello di realismo, la quantità di informazioni
(quindi la dimensione di un file) da fornire al computer per visualizzare
una felce su schermo, sarebbe infinitamente minore. Questo uso della
geometria frattale è studiato da diversi anni e viene chiamato IFS
(Iterated Function System).
Robert Brown nel 1828 scoprì che le particelle al microscopio si muovevano in modo imprevedibile e casuale. Questo è stato chiamato moto browniano. L'idea della curva di un frattale può aiutare a farsi un'impressione della traiettoria di un moto browniano. Si deduce che le proprietà statistiche non variano a seconda della scala. I frattali browniani sono molto naturali. Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: il crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.
Robert Brown nel 1828 scoprì che le particelle al microscopio si muovevano in modo imprevedibile e casuale. Questo è stato chiamato moto browniano. L'idea della curva di un frattale può aiutare a farsi un'impressione della traiettoria di un moto browniano. Si deduce che le proprietà statistiche non variano a seconda della scala. I frattali browniani sono molto naturali. Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: il crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.
